Πλένουμε τις μπάμιες και τις στραγγίζουμε.

Βάζουμε σε ένα μεγάλο τηγάνι ή σε μια κατσαρόλα το μισό ελαιόλαδο και μόλις ζεσταθεί, ρίχνουμε τις μπάμιες και τις σοτάρουμε για 5 λεπτά.

Ανακατεύουμε απαλά με μια ξύλινη κουτάλα ή κουνάμε απλώς το σκεύος για να μη διαλυθούν. Κατόπιν ρίχνουμε το ξίδι και, όταν σχεδόν εξατμιστεί (μετά περίπου 3 - 4 λεπτά), ρίχνουμε τη ζάχαρη.

Μόλις ροδίσουν, αποσύρουμε το σκεύος από τη φωτιά και τις ρίχνουμε σε ένα μεσαίου μεγέθους ταψί.

Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 170° C.

Προσθέτουμε στο ταψί την ντομάτα, το κρεμμύδι, τη φέτα, το δυόσμο, αλάτι, πιπέρι και 1/2 φλιτζάνι ζεστό νερό, ανακατεύουμε απαλά, σκεπάζουμε με αλουμινόχαρτο και ψήνουμε για 40 λεπτά.

Ξεσκεπάζουμε το ταψί και ψήνουμε για 10 λεπτά ακόμη. Αφήνουμε λίγο να σταθούν, περιχύνουμε με το υπόλοιπο ελαιόλαδο και σερβίρουμε.