Βάζω τη φάβα σε σουρωτήρι και την ξεπλένω καλά με άφθονο νερό.Τη βάζω στην κατσαρόλα μαζί με το νερό, σε δυνατή φωτιά μέχρι να αρχίσει να βράζει.Τότε μειώνω την ένταση σε χαμηλή και ξαφρίζω 2-3 φορές (βγάζω τον αφρό που δημιουργείτε στην επιφάνεια).

Προσθέτω το κρεμμύδι και την αφήνω να σιγοβράζει μέχρι να μαλακώσει και να απορροφήσει το νερό, περίπου 40 λεπτά (αν χρειαστεί ενδιάμεσα συμπληρώνω με λίγο ζεστό νερό).Ενδιάμεσα ανακατεύω απαλά, όχι συνέχεια όμως. Όταν είναι έτοιμη ρίχνω το ελαιόλαδο, το αλάτι και το πιπέρι, ανακατεύω και το αφήνω να βράσει για 2 λεπτά ακόμη.

Την πολτοποιώ είτε με ραβδομπλέντερ είτε σε μπλέντερ είτε σε μούλτι.
Την αποθηκεύω σε μπολ με μεμβράνη να κολλάει στην επιφάνεια της.
Σερβίρω γαρνίροντας από πάνω με λίγο κρεμμύδι, κάπαρη ή ελιές και έξτρα ελαιόλαδο.