Ξεπλένουμε τις πατάτες, τις βάζουμε σε μια κατσαρόλα με κρύο νερό και τις βράζουμε για περίπου 40-45 λεπτά, μέχρι να μαλακώσουν.

Μετά, βγάζουμε τις πατάτες με τρυπητή κουτάλα και τις πολτοποιούμε στο μύλο λαχανικών. Δεν χύνουμεόμως όλο το νερό της κατσαρόλας! Κρατάμε 1 φλιτζάνι, το βάζουμε σε μπολ, προσθέτουμε τη μαργαρίνη και ανακατεύουμε για να λιώσει.

Σε ένα άλλο μπολ βάζουμε το 1 φλιτζάνι χλιαρό νερό, τη μαγιά, ½ κουταλιά από τη ζάχαρη, ανακατεύουμε και αφήνουμε για 10-15 λεπτά, μέχρι να αφρίσουν.

Στο μπολ με τη μαργαρίνη ανακατεύουμε το μείγμα της μαγιάς και την υπόλοιπη ζάχαρη, ώστε να ενωθούν.

Προσθέτουμε τώρα τις πατάτες, το αυγό ελαφρά χτυπημένο, το αλεύρι και το αλάτι.

Ζυμώνουμε, ώστε να δημιουργηθεί μια σφιχτή ζύμη, καλύπτουμε το μπολ με διαφανή μεμβράνη και το αφήνουμε σε ζεστό μέρος, μέχρι να διπλασιαστεί σε όγκο.

Βάζουμε τη ζύμη πάνω σε αλευρωμένη επιφάνεια καιτην ανοίγουμε με τον πλάστη σε πάχος περίπου ενός εκατοστού.

Παίρνουμε έναν αλευρωμένο κόφτη για ντόνατς και κόβουμε τη ζύμη σε στρογγυλά κομμάτια (στο εξής ντόνατς), τα βάζουμε σε αλευρωμένη επιφάνεια, τα σκεπάζουμε με διαφανή μεμβράνη και τα αφήνουμε μέχρι να διπλασιαστούν σε όγκο.

Ρίχνουμε το αραβοσιτέλαιο σε ένα βαθύ τηγάνι και, όταν κάψει, τηγανίζουμε 2-3 ντόνατς κάθε φορά, μέχρι να χρυσίσουν.

Βγάζουμε τα ντόνατς με τρυπητή κουτάλα σε πιατέλα και συνεχίζουμε, μέχρι να τελειώσουν.

Σερβίρουμε με μέλι και καρύδια.