Προθερμαίνουμε τον φούρνο στους 180 βαθμούς στον αέρα.

Τρυπάμε τη βάση με πιρούνι και την καλύπτουμε με λαδόκολλα και βάρος πχ ρεβύθια.

Ψήνουμε για 12' αφαιρούμε τη λαδόκολλα με τα όσπρια και ψήνουμε για άλλα 5' μέχρι να ροδίσει, την αφαιρούμε από το φούρνο και αφήνουμε τη βάση να κρυώσει ελαφρώς.

Ζεσταίνουμε το μισό ελαιόλαδο και το μισό βούτυρο σε τηγάνι και σοτάρουμε τα κρεμμύδια με το δεντρολίβανο και αλάτι για περίπου 20 λεπτά σε μέτρια προς χαμηλή φωτιά μέχρι να μαλακώσουν τα ζουμιά τους. Αδειάζουμε σε ένα μπολ.

Επιστρέφουμε το τηγάνι και σε δυνατή φωτιά σοτάρουμε τα μανιτάρια αλατισμένα με το υπόλοιπο βούτυρο και ελαιόλαδο για 6' έως 7' μέχρι να πάρουν χρώμα και να εξατμιστούν τα υγρά τους. Τρίβουμε πιπέρι και τα αδειάζουμε στο μπολ με τα κρεμμύδια αφήνοντάς τα να κρυώσουν ελαφρώς.

Απλώνουμε στη βάση το μείγμα με τα μανιτάρια χτυπάμε τα αυγά με την κρέμα γάλακτος προσθέτουμε το τριμμένο τυρί αλάτι και πιπέρι περιχύνουμε την τάρτα και ψήνουμε για 35 λεπτά μέχρι να ροδίσει η επιφάνεια και να σταθεροποιηθεί η γέμιση.

Τέλος αφήνουμε την τάρτα να σταθεί για 10 λεπτά και τη σερβίρουμε χλιαρή σε θερμοκρασία δωματίου.