Πλένουμε τις αγκινάρες και τις βάζουμε σε ένα μπολ με αλάτι και μπόλικο λεμόνι. Τις αφήνουμε εκεί για 1 ώρα, ανακατεύοντάς τις που και που. Έπειτα τίς στραγγίζουμε, κρατώντας όμως το λεμονάτο ζουμί που είναι στο μπολ.

Σε ένα τηγάνι βάζουμε μία λεπτή στρώση ελαιόλαδο και, όταν ζεσταθεί, ρίχνουμε μέσα τις αγκινάρες και τις τσιγαρίζουμε να μαλακώσουν και να πάρουν λίγο χρώμα. Τις αφαιρούμε σε ένα πιάτο μαζί και το λαδάκι απ' το τηγάνισμα τους, δεν το πετάμε!

Προσθέτουμε εκ νέου ελαιόλαδο στο τηγάνι (παραπάνω αυτή τη φορά) και τηγανίζουμε τις πατάτες. Να είναι ελαφρώς αλατισμένες.

Σε μία κατσαρόλα ρίχνουμε τις αγκινάρες με το λαδάκι απ' το τηγάνισμα τους, τις τηγανισμένες πατάτες, το λεμονάτο ζουμί απ' το βήμα 1 και 1 ποτήρι νερό και αφήνουμε το φαγητό να βράσει σε μέτρια φωτιά μέχρι να έχουμε ένα ωραίο, δεμένο ζουμάκι. Δοκιμάζουμε αν θέλει έξτρα λεμόνι ή αλάτι.