Κόβουμε σε ροδέλες τις πατάτες, τις μελιτζάνες και τα κολοκύθια και τα τηγανίζουμε. Τα βάζουμε επάνω σε χαρτί κουζίνας να τραβήξει το πολύ λάδι.

Σοτάρουμε τον κιμά με το κρεμμύδι ψιλοκομμένο, προσθέτουμε τον πελτέ ντομάτας, λίγο λάδι αλάτι και πιπέρι. Αφήνουμε να πάρει μια βράση.

Στρώνουμε στο ταψί τις πατάτες, μετά τα κολοκύθια και στη συνέχεια ρίχνουμε από πάνω τον κιμά. Στρώνουμε και τις μελιτζάνες.

Σε μια κατσαρόλα που έχουμε αφήσει να ζεσταθεί καλά ρίχνουμε λάδι ίσα να σκεπάσει τον πάτο. Προσθέτουμε το αλεύρι και ανακατεύουμε με σύρμα. Ρίχνουμε σιγά σιγά το γάλα και ανακατεύουμε συνεχώς. Όταν γίνει η κρέμα προσθέτουμε αλάτι και μοσχοκάρυδο και αποσύρουμε από το μάτι. Ρίχνουμε το αυγό και ανακατεύουμε γρήγορα.

Ρίχνουμε την μπεσαμέλ πάνω από τις μελιτζάνες και ψήνουμε στους 170 μέχρι να πάρει χρώμα. Καλή επιτυχία!