Βάζουμε τις πιπεριές στη σχάρα του φούρνου και τις ψήνουμε στο γκριλ για περίπου 15 - 20 λεπτά, γυρίζοντάς ώστε να ροδίσουν καλά απ' όλες τις πλευρές.

Σε ένα μπολ αναμιγνύουμε το βασιλικό, 4 κουτ. της σούπας από το ελαιόλαδο, το ξίδι και λίγο αλάτι.

Σε ένα άλλο μπολ αναμειγνύουμε με ένα πιρούνι τα τυριά, το γιαούρτι, το υπόλοιπο ελαιόλαδο και το πιπέρι, μέχρι να γίνει ένα ομοιογενές μείγμα.

Αφού βγάλουμε τις πιπεριές από το φούρνο της καθαρίζουμε και τις ανοίγουμε κατά μήκος.

Τις βάζουμε σε σουρωτήρι για να φύγουν τα πολλά υγρά τους.

Παίρνουμε μια μακρόστενη φόρμα του κέικ και τη στρώνουμε με διάφανη μεμβράνη, η οποία πρέπει να περισσεύει αρκετά από το χείλος της φόρμας, τόσο ώστε να φτάνει να σκεπάσει μετά τη γέμιση που θα προσθέσουμε.

Στρώνουμε τον πάτο της φόρμας με 4 - 5 φιλέτα πιπεριάς ή όσα χρειαστεί ώστε να καλυφθεί εντελώς.

Πασπαλίζουμε με λίγο από το μείγμα του βασιλικού, συνεχίζουμε με μια λεπτή στρώση από το μείγμα τυριών, μετά με μια στρώση από πιπεριές και συνεχίζουμε με τα υπόλοιπα υλικά εναλλάξ, μέχρι να τελειώσουν.

Η τελευταία στρώση θα πρέπει να είναι πιπεριές. Σκεπάζουμε καλά με τη μεμβράνη και βάζουμε τη φόρμα στο ψυγείο για 7 - 8 ώρες, μέχρι να πήξει.

Βγάζουμε τη φόρμα από το ψυγείο, όταν θέλουμε να σερβίρουμε. Αφαιρούμε από την επιφάνεια τη μεμβράνη, αναποδογυρίζουμε τη φόρμα πάνω σε μια πιατέλα και αφαιρούμε προσεκτικά τη μεμβράνη, ώστε να μη χαλάσει το σχήμα.

Κόβουμε με ένα κοφτερό μαχαίρι σε φέτες και σερβίρουμε.