Σε μία κατσαρόλα βάζω το βούτυρο να λιώσει.

Προσθέτω το αλεύρι και ανακατεύω μέχρι να ψηθεί και να πάρει χρώμα.

Ρίχνω σταδιακά όλο το γάλα και ανακατεύω συνεχώς για να μην σβολιάσει.

Προσθέτω αλάτι, πιπέρι και μοσχοκάρυδο και ανακατεύω μέχρι να πήξει.

Μόλις πήξει η μπεσαμέλ, προσθέτω το αβγό και το τριμμένο τυρί και ανακατεύω να ενσωματωθούν.

Σε λαδωμένο πυρέξ τοποθετώ μία κουταλιά από την μπεσαμέλ.

Κόβω τις πατάτες σε πολύ λεπτές φέτες, αλατοπιπερώνω και στρώνω πάνω από την μπεσαμέλ τις μισές.

Καλύπτω με τη μισή μπεσαμέλ και στρώνω από πάνω τις υπόλοιπες πατάτες.

Τέλος, καλύπτω με την υπόλοιπη μπεσαμέλ και πασπαλίζω από επάνω το τριμμένο τυρί.

Καλύπτω το πυρέξ με αλουμινόχαρτο και ψήνω σε προθερμασμένο φούρνο στους 200°C για 1 ώρα και 1 τέταρτο.

Αφαιρώ το αλουμινόχαρτο και ψήνω για άλλα 15 λεπτά για να ροδίσει η επιφάνεια.

Καλή σας επιτυχία!!!