Σε ένα μπολ ζυμώνουμε τον κιμά με το αυγό, το ρύζι (6-7 κ.σ.) το κρεμμύδι και το καρότο.

Έπειτα προσθέτουμε το αλάτι, το πιπέρι, τον δυόσμο και το ελαιόλαδο (3 κ.σ.) και ζυμώνουμε για λίγο ακόμη.

Κάνουμε μπαλάκια και τα πανάρουμε ελαφρά στο αλεύρι.

Σε μια κατσαρόλα βάζουμε βραστό νερό περίπου 1 1/5 λίτρο και προσθέτουμε τον κύβο και ανάβουμε το μάτι της κουζίνας σε δυνατή φωτιά.

Έπειτα βάζουμε μέσα τα μπαλάκια κιμά ανακατεύουμε για λίγο και αν χρειαστεί ξαφρίζουμε από πάνω με μία κουτάλα. Βράζουμε για 15'.

Μετά τα 15' χαμηλώνουμε την θερμοκρασία σε μέτρια και προσθέτουμε την τριμμένη πατάτα, το ρύζι και το ελαιόλαδο (1/5 κούπα).

Βράζουμε περίπου μισή ώρα μέχρι να βράσει ο κιμάς και το ρύζι. Ελέγχουμε κατά διαστήματα αν χρειάζεται βραστό νερό για να συμπληρώσουμε. Όταν είναι έτοιμο αποσύρουμε από την φωτιά.

Για το αυγολέμονο, σε ένα βαθύ μπολ χτυπάμε πρώτα τα ασπράδια με μίξερ χειρός μέχρι να γίνει αφρός, μετά προσθέτουμε τοους κρόκους και τον χυμό από το ή τα λεμόνια και χτυπάμε λίγο ακόμη.

Στη συνέχεια παίρνουμε με μία κουτάλα από το ζουμί του φαγητού μας και ρίχνουμε σιγά σιγά μέσα στο αυγολέμονο χτυπώντας συνέχεια μέχρι το αυγολέμονο να έρθει στην θερμοκρασία της σούπας μας.

Τέλος προσθέτουμε όλο το ζουμί με το αυγολέμονο μέσα στην κατσαρόλα και ανακινούμε την κατσαρόλα με τα χέρια μας για να πάει παντού (δεν ανακατεύουμε με κουτάλα!)

Σερβίρουμε με λίγο ελαιόλαδο επάνω στη σούπα, αν θέλουμε βάζουμε και κρουτόνς και φρεσκοτριμμένο πιπέρι.