Βάζουμε το κοτόπουλο σε κατσαρόλα με αρκετό νερό να βράσει. Ξαφρίζουμε και αφού βράσει επί 30 λεπτά περίπου, ώσπου να μαλακώσει αρκετά. Το βγάζουμε από την κατσαρόλα και μόλις κρυώσει, αφαιρούμε κόκαλα και πέτσα και κόβουμε σε κομμάτια.

Σουρώνουμε τον ζωμό και τον κρατάμε χωριστά από το κοτόπουλο. Ξαναβάζουμε τον ζωμό στη φωτιά και αφού πάρει βράση προσθέτουμε τα λαχανικά. Τα αφήνουμε να βράσουν μέχρι να μαλακώσουν τα λαχανικά μας.

Ρίχνουμε τα κομμάτια κοτόπουλο και το ρύζι. Αλατοπιπερώνουμε και ρίχνουμε λάδι και τον κύβο. Βράζουμε ώσπου να γίνει το ρύζι. Σβήνουμε τη φωτιά.

Βγάζουμε λίγο ζωμό σε ένα μπολάκι. Για να το προσθέσουμε στο αυγολέμονο.

Για το αυγολέμονο: Στύβουμε τα λεμόνια μας. Σ’ ένα καθαρό μπωλ χωρίζουμε τα ασπράδια από τους κρόκους των αυγών. Μ’ ένα πιρούνι χτυπάμε τα ασπράδια να γίνουν μαρέγκα. Προσθέτουμε τους κρόκους ενώ συνεχίζουμε να «χτυπάμε» μέχρι να γίνει ομοιογενές το μείγμα μας. Προσθέτουμε σταδιακά τον χυμό λεμονιού και στο τέλος μερικές κουτάλες ζωμό από τη σούπα μας, ενώ συνεχίζουμε το ανακάτεμα.

Ρίχνουμε το αυγολέμονο μέσα στη σούπα μας και ανακατεύουμε διαρκώς για 1 λεπτό.