Βάζουμε σε κατσαρόλα την κότα, το σέλινο, τα καρότα, το κρεμμύδι, αλάτι και πιπέρι και μπόλικο νερό.

Βράζουμε χωρίς να προσθέσουμε λάδι.

Σε χύτρα θέλει περίπου 30΄.

Βγάζουμε την κότα και τη φυλάμε σε σκεύος ζεστή.

Πετάμε τα λαχανικά, σουρώνουμε το ζωμό και τον κρατάμε.

Στη συνέχεια φτιάχνουμε το πιλάφι.

Σε μία κατσαρόλα ρίχνουμε το βούτυρο και σωτάρουμε ελαφρά το ρύζι (προσοχή να μην καεί, να "γυαλίσει" μόνο).

Ρίχνουμε το ζωμό και βράζουμε σε χαμηλή φωτιά περίπου για 7-8 λεπτά.

Αποσύρουμε την κατσαρόλα από τη φωτιά, την καπακώνουμε και αφήνουμε το ρύζι να "τραβήξει" τα υγρά του.

Ταυτόχρονα ετοιμάζουμε την σάλτσα

Σε άλλη κατσαρολίτσα (σε μέτρια φωτιά) βάζουμε το βούτυρο και όταν λιώσει ρίχνουμε το αλεύρι και ανακατεύουμε έως ότου ξανθίνει.

Προσθέτουμε τον ζωμό και το γάλα και ανακατεύουμε συνέχεια μέχρι να δέσει η σάλτσα, χωρίς να πήξει πολύ.

Αποσύρουμε από τη φωτιά.

Χτυπάμε τον κρόκο του αυγού προσθέτοντας λίγο ζωμό, που σίγουρα μας έχει περισέψει και το ενσωματώνουμε στη σάλτσα.

Ξαναβάζουμε την κατσαρολίτσα μας σε μέτρια φωτιά για 2 λεπτά περίπου για να πάρει η σάλτσα μας μία βράση ακόμα.

Σερβίρουμε την κότα και το πιλάφι σε πιατέλα και περιχύνουμε με τη σάλτσα.