Για την γέμιση, σε μια κατσαρόλα βάζουμε ελάχιστο ελαιόλαδο, ίσα να καλυφτεί ο πάτος, και ψιλοκόβουμε το κρεμμύδι. Τσιγαρίζουμε μέχρι να ξανθύνει το κρεμμύδι και μετά προσθέτουμε όλα τα υπόλοιπα υλικά της γέμισης εκτός από την φέτα και το αυγό. Ανακατεύουμε καλά και περιμένουμε μέχρι να μαραθούν και να εξατμιστούν όλα τα υγρά τους. Ανακατεύουμε ανά τακτά χρονικά διαστήματα να μην μας κολλήσει. Αν δούμε ότι μας κολλάει χαμηλώνουμε την φωτιά.

Μόλις εξατμιστούν όλα τα υγρά η γέμισή μας είναι έτοιμη. Αποσύρουμε από την φωτιά και περιμένουμε να κρυώσει.

Όταν κρυώσει αρκετά ανακατεύουμε μέσα το αυγό, γρήγορα για να μην ψηθεί. Τέλος προσθέτουμε την φέτα σε κομματάκια ανακατεύοντας ελαφρά να μην μας διαλυθεί.

Για την ζύμη, βάζουμε σε μια λεκάνη όλα τα υλικά εκτός από το αλεύρι και ζυμώνουμε να γίνει ένα ομοιόμορφο μείγμα. Στη συνέχεια προσθέτουμε και το αλεύρι σιγά σιγά μέχρι να δημιουργηθεί μία μαλακή ζύμη που να μην κολλάει στα χέρια μας.

Ανοίγουμε φύλλο την ζύμη και την κόβουμε με κουπάτ ή στρογγυλά μπολ διαμέτρου περ. 12 εκατοστών. Τοποθετούμε στο ένα μισό του κύκλου μία ή και λιγότερο κ.σ. από την γέμιση και κλείνουμε τα πιτάκια μας.

Τοποθετούμε τα πιτάκια μας σε ταψί με λαδόκολλα και τα αλείφουμε με τον κρόκο τον οποίο έχουμε διαλύσει με λίγο νερό ή λάδι. Ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 180 C μέχρι να ροδίσουν.