Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 180°C στις αντιστάσεις ή στους 160°C στον αέρα.

Σε κατσαρόλα με χοντρή βάση βάζουμε το γάλα με την ζάχαρη, τη φλούδα λεμονιού, τη βανίλια και το αλάτι να ζεσταθούν.

Βροχηδόν ρίχνουμε το σιμιγδάλι, ανακατεύοντας με ξύλινη κουτάλα και αφήνουμε να πάρει βράση και να δέσει η κρέμα.

Σβήνουμε τη φωτιά. Προσθέτουμε το βούτυρο και ανακατεύουμε να λιώσει.

Χτυπάμε τα αβγά με σύρμα και τα προσθέτουμε ανακατεύοντας γρήγορα για να μην ψηθούν από τη θερμοκρασία της κρέμας.

Βουτυρώνουμε ταψί.

Μπορούμε είτε να το κάνουμε σε κομμάτια είτε σε ρολά και μετά να τα κόψουμε μικρά κομμάτια. Αν θέλουμε να το κάνουμε σε κομμάτια στρώνουμε τα 6 από τα 10 φύλλα (ανάλογα με το πόσα φύλλα έχει η συσκευασία που πήρατε) βουτυρώνοντας ένα ένα, προσθέτουμε την κρέμα και μετά βάζουμε τα υπόλοιπα φύλλα πάλι με τον ίδιο τρόπο. Χαράζουμε σε κομμάτια.

Αν θέλουμε να κάνουμε ρολά παίρνουμε ένα ένα φύλλο (αν είναι πολύ μεγάλο το κόβουμε στη μέση), βάζουμε στο κάτω μέρος την κρέμα, γυρίζουμε τις άκρες και τέλος γυρίζουμε για να γίνει ρολό.Το χαράζουμε σε μικρά κομμάτια.

Περιχύνουμε με το υπόλοιπο βούτυρο.

Ραντίζουμε πεταχτά με λίγο νερό τα φύλλα για να κολλήσουν μεταξύ τους και να μην σηκώνονται στο ψήσιμο.

Ψήνουμε στην κάτω σχάρα στις αντιστάσεις ή στη μεσαία σχάρα στον αέρα για περίπου 50′ να φουσκώσει και να ροδίσει καλά το φύλλο.

Αφήνουμε τα γαλακτομπούρεκο να κρυώσει τελείως.

Ετοιμάζουμε το σιρόπι. Βάζουμε όλα τα υλικά σε κατσαρόλα και βράζουμε για 5′.

Περιχύνουμε το κρύο γλυκό με το καυτό σιρόπι ρίχνοντας το λίγο λίγο.

Αφού τραβήξει το σιρόπι, κόβουμε και σερβίρουμε.

Ιδανικά το γαλακτομπούρεκο τρώγεται ολόφρεσκο.