Καθαρίζουμε και βράζουμε τις πατάτες για 20 με 30 λεπτά περίπου, μέχρι να βράσουν καλά. Όσο είναι ζεστές ακόμα τις λιώνουμε στον μύλο λαχανικών ή αν δεν έχουμε με πιρούνι.

Ρίχνουμε στον πουρέ το βούτυρο, την τριμμένη γραβιέρα, το αβγό, αλάτι και πιπέρι και ανακατεύουμε καλά μέχρι να ομογενοποιηθούν όλα τα υλικά. Τοποθετούμε το μπολ για 1/2 ώρα στο ψυγείο για να μπορέσουμε να δώσουμε πιο εύκολα σχήμα στις κροκέτες μας.

Σε τρία βαθιά πιάτα τοποθετούμε τα υλικά για το πανάρισμα. Βγάζουμε το μείγμα από το ψυγείο και πλάθουμε τις κροκέτες στο σχήμα της αρεσκείας μας. Πρώτα τις αλευρώνουμε καλά, έπειτα τις βυθίζουμε στα αβγά και τέλος στην τριμμένη φρυγανιά.

Τοποθετούμε το ηλιέλαιο σε βαθύ αντικολλητικό τηγάνι και μόλις ζεσταθεί αρκετά, τηγανίζουμε τις κροκέτες. Όταν αποκτήσουν ένα χρυσοκίτρινο χρώμα τις βγάζουμε και τις τοποθετούμε σε απορροφητικό χαρτί.

Τοποθετούμε τις λαχταριστές πατατοκροκέτες μας σε πιατέλα και σερβίρουμε!