Καθαρίζουμε τις πατάτες και τις βράζουμε μέχρι να μαλακώσουν. Όταν κρυώσουν τις λιώνουμε με ένα πιρούνι.

Σε ένα μικρό μπολ βάζουμε το νερό και τη ζάχαρη. Από πάνω ρίχνουμε τη μαγιά και αφήνουμε για 10 λεπτά.

Σε ένα μεγάλο μπολ αναμιγνύουμε το αλεύρι, τη λιωμένη πατάτα, το αλάτι, το ελαιόλαδο και τη μισή ποσότητα δεντρολίβανου. Μετά προσθέτουμε το νερό με τη μαγιά. Ζυμώνουμε μέχρι να πάρουμε μια μαλακή ζύμη που δεν κολλάει στα χέρια.

Σκεπάζουμε το μπολ με μια πετσέτα και αφήνουμε τη ζύμη για 2 ώρες να φουσκώσει.

Αλείφουμε με λίγο λάδι ένα ρηχό ταψί 30x40. Μεταφέρουμε εκεί τη ζύμη και την απλώνουμε με τα δάχτυλά μας ώστε να καλύψει την επιφάνεια. Θα γίνει πολύ λεπτή, όμως δεν μας ενοχλεί αφού θα φουσκώσει.

Διασκορπίζουμε σε όλη την επιφάνεια της φοκάτσια το κρεμμύδι, τις ελιές, τα ντοματίνια και το υπόλοιπο δεντρολίβανο. Τα πιέζουμε ελαφρά ώστε να βυθιστούν στη ζύμη.

Ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 180 βαθμούς για 25 λεπτά.