Πλένουμε και βράζουμε σε 2 με 3 λίτρο νερό το κοτόπουλο σε μια κατσαρόλα σε μέτρια φωτιά. Ξαφρίζουμε στα πρώτα λεπτά του βρασμού όποτε σχηματίζεται αφρός στην επιφάνεια, αφαιρώντας τον με μία κουτάλα.

Κόβουμε σε μικρά κομμάτια όλα τα λαχανικά και τα ρίχνουμε μέσα στην κατσαρόλα, καθώς και τον κυβο. Μόλις πάρουν μια βραση, ρίχνουμε και το ρύζι, αλατοπιπερώνουμε και προσθέτουμε και το λάδι και βράζουμε μέχρι να είναι έτοιμο και το ρύζι.

Για το αυγολέμονο Σε ένα μπολ χτυπάμε τα αυγά με το σύρμα και λίγο λίγο ρίχνουμε -συνεχίζοντας το χτύπημα- το λεμόνι. Παίρνουμε λίγη σούπα, από την κατσαρόλα και αραιώνουμε το αυγολέμονο, για να εξισορροπήσουμε τη θερμοκρασία των αυγών, πάντα χτυπώντας το μείγμα με σύρμα.

Περιχύνουμε την κοτόσουπα με το αυγολέμονο ανακινώντας τα υλικά.
Αφήνουμε σε πολύ χαμηλή φωτιά για μερικά λεπτά μέχρι να πυκνώσει ελαφρά, πάντα ανακατεύοντας την τακτικά.