Σε ένα μπολ ανακατεύουμε το αλάτι,το αλεύρι, το γάλα, τη ζάχαρη, τη μαγιά, το βούτυρο και τη βανίλια μέχρι να πάρουμε μια λεία ζύμη. Προσέχουμε μόνο να μην ακουμπήσουν στην αρχή το αλάτι με τη μαγιά οπότε και το βάζουμε κάτω κάτω στο μπολ μας.

Ανοίγουμε τη ζύμη μας σε φύλλο μεσαίου πάχους. Με ένα ποτήρι κόβουμε κυκλακια στη ζύμη και με ένα ποτήρι για σφηνάκι ή με το πώμα ενός μπουκαλιού αφαιρούμε εναν μικρότερο κύκλο από το κέντρο του. Έτσι δημιουργούμε το κλασικό σχήμα των λουκουμάδων. Αν θέλουμε, μπορούμε να τους κόψουμε απλά σε κύκλους και να πάρουμε ντόνατς. Αφού βγάλουμε όσα κομμάτια μπορούμε, ζυμώνουμε ξανά το υπόλοιπο της ζύμης μας και κάνουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να τη χρησιμοποιήσουμε όλη.

Τοποθετούμε τους λουκουμάδες σε λαδόκολλα και αφήνουμε να φουσκώσουν για μισή περίπου ώρα.

Ζεσταίνουμε αρκετό ηλιέλαιο σε μια κατσαρόλα ώστε να "κολυμπάνε" μέσα οι λουκουμάδες. Μόλις έχει ζεσταθεί αρκετά, ρίχνουμε προσεκτικά μέσα τους λουκουμάδες. Λίγους κάθε φορά για να μην κολλήσουν μεταξύ τους. Αφήνουμε 1-2' από την μία πλευρά μέχρι να πάρουν χρυσαφένιο χρώμα και γυρίζουμε από την άλλη για άλλο 1'.

Μόλις βγουν από το τηγάνι τους βουτάμε σε ένα μπολ με ζάχαρη (αν σας αρέσει μπορείτε να προσθέσετε και κανέλα) για να καλυφθούν ομοιόμορφα και τοποθετούμε σε χαρτί κουζίνας για να τραβήξει ο,τι λάδι βγάλουν.