Στην χύτρα ή σε μια κατσαρόλα τσιγαρίζουμε με το λάδι το κοτόπουλο που κόψαμε σε κομματάκια και μετά από 5 λεπτά προσθέτουμε το νερό, το κρεμμύδι ολόκληρο και το σκόρδο.
Μόλις πάρει βράση προσθέτουμε αλάτι και πιπέρι και ξεκινάμε την διαδικασία του βρασμού.
Αν βράσετε σε κανονική κατσαρόλα ο χρόνος θα είναι 1 ώρα ενώ στην χύτρα 30 - 40 λεπτά το πολύ.

Μόλις βράσει το κοτόπουλο το αφαιρούμε (εδώ αν θέλετε το ψήνετε και στο φούρνο αν δεν σας αρέσει βραστό μέχρι να πάρει λίγο χρώμα 15 λεπτά) και σε μια άλλη κατσαρόλα με σουρωτήρι, σουρώνουμε το ζουμί και μετά αυτό θα βράσουμε το ρύζι. Τα κρεμμύδια δεν τα θέλουμε οπότε τα αφαιρούμε.

Μόλις πάρει βράση το ζουμί προσθέτουμε το ρύζι, τον χυμό από ένα λεμόνι και βράζουμε για 15 με 20 λεπτά.
Προς το τέλος του βρασμού σε ένα μπολ χτυπάμε με το μίξερ τα αυγά μέχρι να αφρατέψουν, προσθέτοντας χυμό από το δεύτερο λεμόνι και 3-4 με την μεγάλη κουτάλα ζουμί από την κατσαρόλα. Χτυπάμε καλά.
Τέλος ρίχνουμε το αυγολέμονο στην σούπα μας ανακατεύουμε καλά. Το αφήνουμε 2-3 λεπτά και αφαιρούμε από την φωτιά.