Βάζουμε σε ένα μπολ τα 500 γρ. αλεύρι, προσθέτουμε τα υπόλοιπα υλικά της ζύμης και ανακατεύουμε στην αρχή. Σιγά σιγά αρχίζουμε να ζυμώνουμε,μέχρι να πετύχουμε μια ελαστική ζύμη. Αν χρειαστεί, προσθέτουμε και το υπόλοιπο αλεύρι.

Χωρίζουμε τη ζύμη σε 10 μέρη. Κάνουμε μπαλάκια και αφήνουμε σκεπασμένα, τουλάχιστον μισή ώρα να ξεκουραστεί και να ωριμάσει η ζύμη. Όσο πιο πολύ ξεκουράσουμε τη ζύμη, τόσο πιο εύκολα θα την διαχειριστούμε μετά..

Θρυμματίζουμε το ανθότυρο ή την φέτα,(ή μίξη των δυο) και πλάθουμε 10 μπαλάκια.

Αφού ξεκουραστεί η ζύμη μας, παίρνουμε ένα μπαλάκι, το ανοίγουμε με τα χέρια μας και βάζουμε στο κέντρο του ένα μπαλάκι ανθότυρο. Κλείνουμε σαν πουγκί.

Το ακουμπάμε στην επιφάνεια εργασίας μας με την κλεισμένη μεριά προς τα κάτω,το πατάμε με την παλάμη μας από πάνω και με τον πλάστη μας το ανοίγουμε πάρα πολύ προσεχτικά, σε πιτάκια με διάμετρο 20 εκατοστά.

Βάζουμε λίγο ελαιόλαδο σε ένα αντικολλητικό τηγάνι και τηγανίζουμε τις σφακιανόπιτες,σε μέτρια φωτιά, ένα λεπτό από κάθε μεριά. Πριν βάλουμε την επόμενη συμπληρώνουμε λίγο λάδι.
Τοποθετούμε σε χαρτί κουζίνας για να απορροφήσει το περιττό λάδι.