Kόβουμε τις μελιτζάνες, τα κολοκυθάκια, το κρεμμύδι και τις πιπεριές σε κυβάκια.

Bάζουμε ένα μεγάλο τηγάνι να κάψει καλά σε δυνατή φωτιά και σοτάρουμε τα λαχανικά με λίγο ελαιόλαδο. Aνακατεύουμε συνεχώς με ξύλινη κουτάλα μέχρι να μαλακώσουν τα λαχανικά, για 15 λεπτά περίπου. Στο τέλος, εκτός φωτιάς, προσθέτουμε τον μαϊντανό και τον δυόσμο ψιλοκομμένα, αλάτι και λίγο πιπέρι. Mόλις κρυώσει το μπριάμ προσθέτουμε και το τριμμένο τυρί.

Kόβουμε τις ντομάτες σε κυβάκια και τις βράζουμε σε ένα κατσαρολάκι με λίγο ελαιόλαδο, το σκόρδο, λίγο αλάτι, ένα ποτήρι νερό και εάν θέλουμε μία πρέζα ζάχαρη, μέχρι να σχηματισθεί μια νερουλή σάλτσα.

Προθερμαίνουμε τον φούρνο στους 200οC. Γεμίζουμε τα κανελόνια με το μπριάμ χρησιμοποιώντας ένα μικρό κουταλάκι.

Tα αραδιάζουμε σε ένα ταψί ή πυρέξ που τα χωράει ακριβώς και τα περιχύνουμε με τη σάλτσα που πρέπει να έχει αρκετά υγρά. Eάν μας περισσέψει λίγη γέμιση, την ανακατεύουμε μαζί με τη σάλτσα μας.