Σ' ένα μπολάκι διαλύουμε τη μαγιά σε 100 ml γάλα. Σ' ένα κατσαρολάκι λιώνουμε το βούτυρο, ρίχνουμε το υπόλοιπο γάλα, τη ζάχαρη, το ξύσμα, το λικέρ και τα ζεσταίνουμε (δεν τα βράζουμε).

Αποσύρουμε από τη φωτιά, ρίχνουμε μέσα τα αυγά, τη διαλυμένη μαγιά, τη βανίλια, το μαχλέπι, το κακουλέ και χτυπάμε με σύρμα.

Σε κάδο από επιτραπέζιο μίξερ-κουζινομηχανή ρίχνουμε το αλεύρι και το μείγμα που ετοιμάσαμε προηγουμένως. Χρησιμοποιούμε γάντζο για το ζύμωμα.

Αρχίζουμε με χαμηλή ταχύτητα για 3'. Έπειτα, την αυξάνουμε και αφήνουμε να ζυμωθεί για 12' περίπου, μέχρι να ξεκολλήσει από τα τοιχώματα του κάδου.

Την αφαιρούμε από τον κάδο, τη βάζουμε σ' ένα μεγάλο αλευρωμένο μπολ και τη σταυρώνουμε μ' ένα μαχαίρι. Τη σκεπάζουμε και την αφήνουμε σε ζεστό και υγρό περιβάλλον να φουσκώσει για 2 ½ - 3 ώρες περίπου.

Αφού περάσει το διάστημα αυτό, την τοποθετούμε σε ταψί διαμέτρου 28 ή 30 cm στρωμένο με λαδόκολλα.

Τυλίγουμε το φλουρί με αλουμινόχαρτο και το μπήγουμε από την κάτω πλευρά της βασιλόπιτας. Την αφήνουμε να διπλασιαστεί για 1 ώρα περίπου.

Σ' ένα μπολάκι χτυπάμε τον κρόκο με 1 κουτ. σούπας γάλα και την αλείφουμε προσεκτικά. Την ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο για 25'-30' περίπου στους 170ο-180ο C.