Prepariamo la crema: scaldate il latte in un pentolino senza portarlo a ebollizione. Aggiungete lo zucchero e il semolino, mescolando continuamente con una frusta.
Addensiamo: cuocete a fuoco medio-basso fino a quando la crema inizierà ad addensarsi.

Aggiungiamo le uova: togliete il pentolino dal fuoco e lasciate intiepidire leggermente. Unite le uova e l'estratto di vaniglia, quindi mescolate energicamente fino a ottenere una crema liscia.

Componiamo la bougatsa: imburrate una teglia e sistemate metà dei fogli di pasta fillo, spennellando ogni foglio con il burro fuso. Versate la crema al centro e livellatela delicatamente

Coprite con i restanti fogli di pasta fillo, imburrando ogni strato. Ripiegate eventualmente i bordi verso l'interno.

Cottura: cuocete in forno preriscaldato a 180°C per circa 35–40 minuti, fino a quando la superficie sarà ben dorata e croccante.
Sfornate e lasciate riposare per qualche minuto. Prima di servire, completate con una generosa spolverata di zucchero a velo e cannella.