Ανακατεύουμε σε ένα βαθύ μπολ το γάλα με την ξηρή μαγιά και 10 γρ. ζάχαρη (από τη συνολική ποσότητα) μέχρι να ομογενοποιηθούν πλήρως.

Προσθέτουμε στη συνέχεια 100 γρ. αλεύρι ανακατεύοντας και αφήνουμε το μείγμα στο φούρνο με ανοιχτή τη λάμπα της συσκευής για να ενεργοποιηθεί η μαγιά. Μόλις το μείγμα διπλασιαστεί σε όγκο, το μεταφέρουμε στον κάδο του μίξερ (εγώ το έβαλα στον αρτοπαρασκευαστή).

Χτυπάμε σε ένα μπολ με το σύρμα την υπόλοιπη ζάχαρη, τα αβγά, τη μαστίχα, το μαχλέπι, το κακουλέ και το ξύσμα μέχρι να διαλυθεί η ζάχαρη.

Προσθέτουμε το μείγμα στον κάδο του μίξερ όπου έχουμε το γρήγορο προζύμι, ρίχνουμε και το υπόλοιπο αλεύρι (όπου έχουμε ανακατέψει και το αλάτι) και δουλεύουμε τα υλικά με το εξάρτημα του γάντζου σε μέτρια προς σιγανή ταχύτητα, μέχρι να ενωθούν σε μια ζύμη που ξεκολλάει από τα τοιχώματα του κάδου.

Ζυγίζουμε τη ζύμη και την χωρίζουμε σε 4 κομμάτια (για 2 μεγάλα τσουρέκια) ή σε 6 κομμάτια (για 3 τσουρέκια των 425 γρ.) και πλάθουμε τσουρέκια σε σχήμα πλεξούδας με δύο κορδόνια, τα οποία τοποθετούμε σε ταψί καλυμμένο με λαδόκολλα. Τα σκεπάζουμε με πετσέτα και τα αφήνουμε πάλι στο φούρνο με ανοιχτή τη λάμπα μέχρι να διπλασιαστούν σε όγκο (άλλη μια ώρα τουλάχιστον).

Αλείφουμε τα τσουρέκια με το ασπράδι, πασπαλίζουμε με το φιλέ αμυγδάλου και τα βάζουμε σε ΚΡΥΟ φούρνο στους 150°C βαθμούς, στον αέρα, για 45-50 λεπτά (τα μικρά - τα μεγαλύτερα θα χρειαστούν λίγο περισσότερο χρόνο). Κατά το ψήσιμο φροντίζουμε να βάλουμε ένα ταψάκι με καυτό νερό στον πάτο του φούρνου, ώστε το τσουρέκι να διατηρήσει την υγρασία του.