Σε ένα μπολ ανακατεύουμε τη μαγιά και το νερό. Σε ένα άλλο μπολ αναμειγνύουμε το αλεύρι και το αλάτι. Κάνουμε μια λακκούβα στη μέση και προσθέτουμε τη μαγιά με το νερό και το λάδι. Ζυμώνουμε με τα χέρια μέχρι η ζύμη μας να γίνει λεία και ελαστική. Πλάθουμε μία μπάλα και τοποθετούμε σε λαδωμένο μπολ σκεπασμένο με μεμβράνη! Αφήνουμε στην άκρη μέχρι να φουσκώσει (1-2 ώρες).

Τοποθετούμε σε ταψί με λαδόκολλα. Χτυπάμε το αυγό, ρίχνουμε ελάχιστο νεράκι και αλείφουμε τα καλτσόνε. Ψήνουμε στους 200-220 βαθμούς αέρα σε, πολύ καλά προθερμασμένο φούρνο, μέχρι να ροδίσουν περίπου 15-20 λεπτά.