Χτυπάμε τα αυγά με τη ζάχαρη να αφρατέψουν, 10 λεπτάκια. Σε κατσαρολάκι ρίχνουμε το βούτυρο σε κομμάτια και το γάλα. Ζεσταίνουμε μέχρι να λιώσει το βούτυρο. Κοσκινίζουμε το αλεύρι με το μπέικιν. Ενσωματώνουμε το αλεύρι εναλλάξ με το γάλα και το βούτυρο στα χτυπημένα αυγά. Βουτυρώνουμε ένα ταψάκι γύρω στα 22εκ., και το περνάμε και με τριμμένη φρυγανιά. Αναποδογυρίζουμε να πέσει ότι περισσεύει. Αδειάζουμε το μείγμα του κέικ και ψήνουμε στους 170°C για 40 λεπτά.

Φτιάχνουμε την επικάλυψη βάζοντας το βούτυρο με το γάλα και τη ζάχαρη σε κατσαρόλα σε χαμηλή φωτιά. Μόλις λιώσει το βούτυρο προσθέτουμε την καρύδα. Βράζουμε ανακατεύοντας για 1-2 λεπτά. Βγάζουμε το κέικ από το φούρνο και απλώνουμε τη ζεστή επικάλυψη. Συνεχίζουμε το ψήσιμο στους 190°C για 10 λεπτά.