Βάζουμε σε ένα μπώλ τη μαγιά με το νερό και αφήνουμε για 5 λεπτά μέχρι να φουσκώσει η μαγιά.

Έπειτα προσθέτουμε το μέλι, ελαιόλαδο, αλάτι και το αυγό και ανακατεύουμε καλά. Προσθέτουμε τις 3 κούπες από το αλεύρι μας και χτυπάμε στο μίξερ μέχρι το ζυμάρι να είναι κολλώδες. Αλλάζουμε και βάζουμε τον ειδικό γάντζο για ζύμωμα και ρίχνουμε το υπόλοιπο αλεύρι και ζυμώνουμε σε χαμηλή ταχύτητα για 8 λεπτά. Θα δείτε ότι σε αυτή τη φάση η ζύμη θα είναι μαλακιά και ελαστική.

Μεταφέρουμε τη ζύμη σε ελαφρώς λαδωμένο μπώλ, αναποδογύριζουμε μια φορά τη ζύμη εκεί μέσα για να λαδωθεί παντού και σκεπάζουμε με μεμβράνη. Αφήνουμε να φουσκώσει σε ζεστό μέρος για περίπου 2 ώρες.

Όταν πλέον φουσκώσει την πατάμε ελαφρώς με τη μπουνιά μας και τη ζυμώνουμε για πολύ λίγο.. περίπου 30 δευτερόλεπτα. Σκεπάζουμε με μια καθαρή πετσέτα και την αφήνουμε να ξεκουραστεί για 10 λεπτά. Έπειτα παίρνουμε τη ζύμη και τη χωρίζουμε σε 12 ίσα στρογγυλά κομμάτια. Τα τοποθετούμε σε ένα ελαφρώς βουτυρωμένο στρογγυλό ταψάκι 23-26 εκ. ή ότι ταψάκι σας βολεύει καλύτερα. Σκεπάζουμε και τα αφήνουμε να φουσκώσουν σε ζεστό μέρος για 20 – 30 λεπτά.

Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 200 βαθμούς (εγώ τα ψήνω στον αέρα). Σε αυτό το σημείο λιώνω σε ένα μπρίκι το βούτυρο μαζί με το μέλι και αλοίφω τα ψωμάκια από πάνω και τα ψήνουμε για 15 – 20 λεπτά. Στο δικό μου φούρνο δεν παίρνει παραπάνω από 15 λεπτά!