Χτυπάμε σε ένα μπωλ το λάδι τη ζάχαρη και το αλάτι και προσθέτουμε μετά τη μαγιά. Προσθέτουμε το γάλα και χτυπημένα το αυγό χτυπημένα και ανακατεύουμε.

Αφήνουμε 3 λεπτά να ενεργήσει η μαγιά και να διαλυθεί καλά.

Τέλος προσθέτουμε το αλεύρι λίγο-λίγο ανακατεύοντας με μια σπάτουλα.

Μόλις τραβήξει όλο το αλεύρι μίγμα για κέικ χωρίς γλουτένη, έχουμε μια μαλακή ζύμη, εύπλαστη που δεν κολλάει στα χέρια.

Χωρίζουμε το ζυμάρι σε 20 μπαλάκια και κρατάμε το 1 στην άκρη.

Σε κάθε μπαλάκι με τον αντίχειρά μας ανοίγουμε μια τρύπα και σχηματίζουμε ένα «πηγάδι».

Τα αραδιάζουμε όλα στο ταψί συνολικά 19 πηγαδάκια.

Σε ένα πιάτο βαθύ χτυπάμε το ασπράδι και τον μισό κρόκο για τη γέμιση και ψιλοκόβουμε το ένα ζυμαρένιο μπαλάκι. Με ένα πηρούνι το πατάμε για να διαλυθεί μέσα στο μίγμα αυγού.

Προσθέτουμε θρυμματισμένη τη φέτα και το τριμμένο regato. Γίνεται έτσι πιο αφράτη η γέμιση.

Βάζουμε από μια μικρή κουταλιά σε κάθε τυροπηγαδάκι.

Προσθέτουμε στον μισό κρόκο που κρατήσαμε και 1 κ.τς. νερό ή γάλα και αλείφουμε από πάνω τα τυροπηγαδάκια.

Το βάζουμε σε προθερμασμένο φούρνο 50-70 οC να φουσκώσει για 15 λεπτά και έπειτα ανεβάζουμε τη θερμοκρασία στους 160οC και ψήνουμε για 25 λεπτά περίπου μέχρι να ροδίσουν.