Καθαρίζουμε τις αγκινάρες, τις τρίβουμε με λεμόνι και τις βάζουμε σε ένα μπολ με νερό κιαι λεμόνι για να μην μαυρίσουν.

Σε μια κατσαρόλα βράζουμε 4 - 4,5 φλυτζάνια νερό με λίγο λάδι, την δάφνη, το σκόρδο και αλατοπίπερο.Παίρνουμε τις αγκινάρες από το μπολ και τις βάζουμε στο νερό που βράζει.Τις βράζουμε για 40 λεπτά, τις αφαιρούμε από το ζουμί και τις στραγγίζουμε σε απορροφητικό χαρτί. Το ζουμί τους το χρειαζόμαστε για το ρύζι.

Σοτάρουμε σε μια άλλη κατσαρόλα το κρεμμύδι με το βούτυρο μέχρι να γίνει διάφανο, να γυαλίσει. Για το 1,5 φλ. ρύζι χρειάζονται 3 φλ.νερό, εμείς θα βάλουμε το ζουμί από τις αγκινάρες.Αν δεν φτάνει συμπληρώνουμε με ζεστό νερό (μπορούμε να βάλουμε και κύβο ζωμού). Ρίχνουμε λοιπόν το ζουμί στο ρύζι και το αφήνουμε να σιγοβράσει.

Το αποσύρουμε από τη φωτιά, περιμένουμε να κρυώσει λίγο και προσθέτουμε τα αυγά χτυπημένα σε ένα μπολ με την παρμεζάνα, ανακατεύοντας ελαφρά.

Αλείφουμε ένα πυρέξ με βούτυρο και βάζουμε το μισό από το ρύζι.
Κόβουμε τις αγκινάρες σε κομματάκια και βάζουμε τις μισές σε μια στρώση πάνω από το ρύζι.Βάζουμε το υπόλοιπο ρύζι και τις υπόλοιπες αγκινάρες επάνω του βουλιάζοντας τις λίγο μέσα στο ρύζι.

Πασπαλίζουμε με την φρυγανιά, με λίγη παρμεζάνα και περιχύνουμε με λίγο λαδάκι ή βάζουμε κομματάκια βούτυρο.

Ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 170-180 βαθμούς για μισή ώρα.Μετά το αφήνουμε να κρυώσει λίγο και το σερβίρουμε σε κομμάτια.