Σε ένα μπολ βάζω το χλιαρό νερό, την ζάχαρη, την μαγιά, 5 κουταλιές της σούπας από το αλεύρι και ανακατεύω καλά. Το σκεπάζω με μια μεμβράνη και το αφήνω 20 λεπτά σε ζεστό μέρος να ενεργοποιηθεί η μαγιά.

Στο μπολ του μίξερ βάζω το το αυγό, το μίγμα της ενεργοποιημένης μαγιάς, το αλάτι, την βανίλια και τα χτυπώ για 3 λεπτά.

Έπειτα προσθέτω το αλεύρι κοσκινισμένο σιγά σιγά και στο τέλος το βούτυρο.

Αφήνω την ζύμη να φουσκώσει μισή ώρα σκεπασμένη με μεμβράνη σε ζεστό μέρος.

Πασπαλίζω με αλεύρι την επιφάνεια εργασίας και ανοίγω την ζύμη 7 περίπου χιλιοστά με έναν πλάστη.

Κόβω με κουπ πατ τους λουκουμάδες και τους τοποθετώ επάνω σε κομμάτια λαδόκολλας, τους σκεπάζω με μια πετσέτα να φουσκώσουν για μισή ώρα.

Ζεσταίνω ηλιέλαιο σε βαθιά κατσαρόλα και τηγανiζω σε μέτρια φωτιά τους λουκουμάδες από τις δυο πλευρές και τους τοποθετώ σε απορροφητικό χαρτί.

Τους λουκουμάδες είτε τους πασπαλίζουμε με ζάχαρη είτε τους βουτάμε σε σοκολάτα.

Για την (Επικάλυψη σοκολάτας), ζεσταίνουμε καλά την κρέμα γάλακτος. Έπειτα προσθέτουμε την κουβερτούρα την αφήνουμε 1 λεπτό και ανακατεύουμε. Τέλος προσθέτουμε το βούτυρο και το μέλι.