Βάζουμε το κεφάλι, την ραχοκοκκαλιά και τα πτερύγια σε μια κατσαρόλα, τα κομματάκια θα τα βάλουμε στο τέλος ωμά.
Αν θέλουμε για περισσότερη γεύση προσθέτουμε ολόκληρο καρότο, κρεμμύδι και κλωνάρια από μαϊντανό και άνηθο.

Γεμίζουμε με νερό να σκεπάσει το ψάρι και βάζουμε στην φωτιά. Περιμένουμε να ξεκινήσει να βράζει. Αφαιρούμε τον αφρό που δημιουργήθηκε, προσθέτουμε λίγο αλάτι και κόκκους πιπέρι, χαμηλώνουμε την φωτιά να σιγοβράζει το περιεχόμενο. Βράζουμε 8-10 λεπτά.

Περνάμε όλα από ψηλό τρυπητό, να είναι ο ζωμός καθαρός. Από το κεφάλι και την ραχοκοκκαλιά αφαιρούμε το φαγώσιμο ψαχνό.

Όσο βράζει ο ζωμός, κόβουμε τις ντομάτες στα δύο και τις βάζουμε σε ένα πυρέξ. Από πάνω ρίχνουμε το ψιλοκομμένο κρεμμύδι και σκόρδο. Περιχύνουμε με ελαιόλαδο και ψήνουμε στον φούρνο, στους 200 βαθμούς για 20 λεπτά. Αφού ψηθούν τις πολτοποιούμε μαζί με τρία κλωνάρια μαϊντανό και δύο κλωνάρια βασιλικό.

Βράζουμε την ψαρόσουπα για 6 λεπτά. Προς το τέλος δοκιμάζουμε το αλάτι, αν χρειάζεται προσθέτουμε.
Κόβουμε δυο κλωνάρια μαϊντανό και ένα βασιλικό, ψιλοκόβουμε το σκόρδο και τα βάζουμε όλα στην σούπα, μαζί με φρεσκοτιμμένο πιπέρι. Αν θέλουμε βάζουμε και καυτερή πιπεριά. Περιμένουμε να πάρει μια βράση και σβήνουμε την φωτιά.

Στην κατσαρόλα με τον ζωμό βάζουμε τις πολτοποιημένες ντομάτες να πάρουν μια βράση. Προσθέτουμε το πλυμένο ρύζι και τα κομματάκια ωμό ψάρι.