Σε μια κατσαρόλα, βράζουμε τις πατάτες σε 500 ml βραστό νερό μαζί με τον κύβο, για 10 λεπτά, προσέχοντας η κατσαρόλα να είναι σκεπασμένη με καπάκι. Στραγγίζουμε τις πατάτες και κρατάμε τον ζωμό που θα τον χρειαστούμε αργότερα για τη μπεσαμέλ σε μια μεσαίου μεγέθους κατσαρόλα. Μετράμε τον ζωμό να είναι 500 ml και αν χρειαστεί προσθέτουμε επιπλέον νερό.

Σε ένα τηγάνι σε μέτρια φωτιά σοτάρουμε τα κρεμμύδια κομμένα σε λεπτές ροδέλες μαζί με 2 κ.σ. ελαιόλαδο και 1/2 κ.γ. ζάχαρη κρυσταλλική για 15-20 λεπτά μέχρι να καραμελώσουν ελαφρά και να πάρουν χρώμα. Αφαιρούμε από το τηγάνι. Στη συνέχεια στο ίδιο τηγάνι και χωρίς να το πλύνουμε προσθέτουμε τα μανιτάρια, κομμένα στα τέσσερα, τις άλλες 2 κ.σ. ελαιόλαδο και τα μυρωδικά.

Σοτάρουμε και αυτά για 8-10 λεπτά σε πολύ δυνατή φωτιά ώστε να χάσουν τα μανιτάρια αρκετή από την υγρασία τους. Αφαιρούμε από τη φωτιά. Προθερμαίνουμε τον φούρνο στους 180ο C στον αέρα. Στρώνουμε σε μία στρώση τις πατάτες, τα κρεμμύδια και τα μανιτάρια, σε μικρό, βουτυρωμένο πυρέξ (25x35 εκ.) και πασπαλίζουμε με τα 3/4 από το τριμμένο τυρί και όλο το ζαμπόν κομμένο σε λεπτές λωρίδες.

Στη συνέχεια ετοιμάζουμε μια ελαφριά μπεσαμέλ, ως εξής : σε ένα μπολ ανακατεύουμε με το σύρμα, το γάλα, το αλεύρι, το βούτυρο, το αυγό, λίγο αλάτι και πιπέρι να γίνουν ένα μείγμα. Το μείγμα αυτό το ρίχνουμε στον ζωμό από τις πατάτες, που έχει ήδη κρυώσει και ανακατεύουμε πολύ καλά με το σύρμα.

Ανάβουμε το μάτι και ζεσταίνουμε το μείγμα ανακατεύοντας συνεχώς μέχρι να πήξει και να γίνει μια λεία κρέμα καθώς βράζει. Τέλος ρίχνουμε τη μπεσαμέλ στο πυρέξ, πασπαλίζουμε με λίγη τριμμένη φρυγανιά, το υπόλοιπο τυρί, και ψήνουμε για 40 λεπτά.