Σ' ένα μπολ βάζουμε τη μαγιά με τη ζάχαρη και τη μία κούπα από το νερό. Ανακατεύουμε και αφήνουμε τη μαγιά να σταθεί 10 λεπτά.

Σε μια λεκάνη ανακατεύουμε το αλεύρι με το αλάτι και το δυόσμο. Ρίχνουμε το λάδι και τρίβουμε με τα δάχτυλα να σχηματιστούν τρίμματα σαν του τραχανά. Ρίχνουμε τη μαγιά και το υπόλοιπο νερό και ζυμώνουμε ώσπου να επιτύχουμε ζύμη μαλακή που να μην κολλάει στα δάχτυλα. Σκεπάζουμε με πετσέτα και την αφήνουμε να σταθεί για 30 λεπτά περίπου ή ώσπου να διπλασιαστεί σε όγκο.

Προσθέτουμε το βούτυρο και ζυμώνουμε ώσπου να ενσωματωθεί στη ζύμη. Ρίχνουμε το χαλούμι και ζυμώνουμε 3 λεπτά ακόμη να ενωθούν τα υλικά με τη ζύμη.

Απλώνουμε το ζυμάρι σε ένα ταψί στρωμένο με λαδόκολλα. Ισιώνουμε την επιφάνεια με τις παλάμες και αφήνουμε ώσπου να διπλασιαστεί σε όγκο. Ψήνουμε τη χαλουμόπιτα στους 180°C 30 λεπτά περίπου ή ώσπου να ροδίσει

Με την ίδια ζύμη φτιάχνουμε ελιόψωμο αντικαθιστώντας το χαλούμι με ελιές.