Ετοιμάζουμε τη ζύμη. Βάζουμε σε ένα μπολ το νερό, το βούτυρο, λίγο αλάτι, τη ζάχαρη και το αυγό και ανακατεύουμε ελαφρά με το χέρι. Πασπαλίζουμε τη μαγιά μέσα στο μείγμα και πάλι ανακατεύουμε πάρα πολύ ελαφρά με το χέρι. Καλύπτουμε με πλαστική μεμβράνη και αφήνουμε να σταθεί για 15 λεπτά σε ζεστό μέρος.

Τώρα αφαιρούμε την μεμβράνη και ρίχνουμε με μιας το αλεύρι και ανακατεύουμε για 10 λεπτά είτε με το χέρι είτε στο μίξερ με το γάντζο ζυμώματος, μέχρι να σχηματιστεί μια μπάλα. Το μεταφέρουμε σε ένα καλά βουτυρωμένο μπολ, καλύπτουμε με πλαστική μεμβράνη και αφήνουμε σε ζεστό μέρος να φουσκώσει για 2 ώρες.

Ετοιμάζουμε τη γέμιση. Βάζουμε όλα τα υλικά μαζί σε ένα μπολ και ζυμώνουμε με ένα πιρούνι. Φυλάμε τη γέμιση στο ψυγείο, ώσπου να τη χρησιμοποιήσουμε.

Μόλις είναι έτοιμη η ζύμη αλευρώνουμε πολύ καλά ένα παραλληλόγραμμο ή τετράγωνο ταψί κι απλώνουμε επάνω τη ζύμη, πιέζοντας με τα χέρια για να το καλύψει. Χωρίζουμε τη ζύμη σε 3 ίσα νοητά παραλληλόγραμμα. Αλείφουμε με βούτυρο και απλώνουμε στο μεσαίο παραλληλόγραμμο τη γέμιση. Διπλώνουμε το αριστερό παραλληλόγραμμο επάνω από τη γέμιση, το βουτυρώνουμε και το καλύπτουμε με το δεξί. Γυρίζουμε το πιο μακρύ μέρος της ζύμης προς το μέρος μας. Το πιέζουμε και πάλι ελαφρά με τα χέρια μας να πλατύνει, όσο γίνεται. Βουτυρώνουμε τη ζύμη, τοποθετούμε την υπόλοιπη γέμιση και πάλι καθέτως στο κέντρο και διπλώνουμε τα φύλλα δεξιά και αριστερά βουτυρώνοντας (όπως πριν),(αν θέλουμε επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία, αλλά θα πρέπει να έχουμε κρατήσει γέμιση).

Το κομμάτι τώρα που έχει σχηματιστεί είναι πολύ παχύ και στενό. Το σκεπάζουμε με πλαστική μεμβράνη και το αφήνουμε να φουσκώσει για 30 λεπτά. Κόβουμε από την κοντή πλευρά του με κοφτερό μαχαίρι λωρίδες πάχους 1 εκ. Της στριφογυρίζουμε και τις τοποθετούμε σε μια καλά βουτυρωμένη φόρμα για κέικ, που θα έχουμε προηγουμένως πασπαλίσει με καστανή ζάχαρη. Τοποθετούμε τις λωρίδες να καλύψουν πρώτα τον πάτο και έπειτα σχηματίζουμε δεύτερη σειρά. Καλύπτουμε τη φόρμα με πλαστική μεμβράνη και αφήνουμε 20 λεπτά να φουσκώσει.

Αφαιρούμε τη μεμβράνη και ψήνουμε το κέικ σε προθερμασμένο φούρνο στους 180 C,για 45-50 λεπτά. Εάν η επιφάνεια ροδίσει πολύ ανοίγουμε το φούρνο και καλύπτουμε με αλουμινόχαρτο. Όταν βγάλουμε το κέικ από το φούρνο το αφήνουμε να σταθεί για 10 λεπτά και ξεφορμάρουμε. Εάν θέλουμε το αλείφουμε με ζεσταμένο μέλι ή μαρμελάδα. Το σερβίρουμε την ίδια μέρα ή το φυλάμε στην κατάψυξη.