Κόβουμε τις πατάτες και τις μελιτζάνες σε ροδέλες. Αλατιζουμε και τα τηγανίζουμε κανονικά.

Σε μια κατσαρόλα ψιλοκόβουμε το κρεμμύδι και το τσιγαρίσουμε σε λίγο λάδι. Προσθέτουμε τον κύβο, το πιπέρι, την πάπρικα, το αλάτι, τη ρίγανη λκαι τον πελτέ. Προσθέτουμε νερό και το αφήνουμε να βράσει και να δέσει.

Σε μια κατσαρόλα λιώνουμε το βούτυρο. Όταν λιώσει καλά, προσθέτουμε λίγο αλεύρι ίσα να σφίξει το βούτυρο. Μετά προσθέτουμε το γάλα σιγά σιγά και ανακατεύουμε συνεχώς. Όταν δέσει η μπεσαμέλ, ρίχνουμε το αλάτι και λίγο πιπέρι. Χτυπάμε ένα αυγό και το ρίχνουμε μέσα στην μπεσαμέλ αφού χαμηλόσουμε τη φωτιά.

Στο ταψί, βάζουμε μια στρώση από τις τηγανιτές πατάτες και μια στρώση μελιτζάνες. Ρίχνουμε λίγη σάλτσα. Επαναλαμβάνουμε το ίδιο μια φορά ακόμα. Στο τέλος ρίχνουμε την μπεσαμέλ και κόβουμε μικρά κομματάκια βούτυρο και το ρίχνουμε από πάνω. Τέλος πασπαλιζουμε την επιφάνεια με λίγη κανέλα και ψήνουμε στους 200 βαθμούς για 15 με 30'