Σε ένα τηγάνι τσιγαρίζουμε καλά τον κιμά μέχρι να σκουρύνει.

Συνεχίζουμε σε δυνατή φωτιά και προσθέτουμε το φρέσκο και το ξερό κρεμμύδι (ψιλοκομμένα).

Προσθέτουμε το αλάτι, το πιπέρι, την πάπρικα, το καρότο, το χυμό ντομάτας και στο τέλος το 1 ποτήρι νερό.

Χαμηλώνουμε την φωτιά στο μισό και το αφήνουμε να βράσει μέχρι να τραβήξει τα ζουμιά του (περίπου δέκα λεπτά).

Αφήνουμε τον κιμά στην άκρη να κρυώσει και σε ένα σκεύος μαλακώνουμε το βούτυρο (προσοχή όχι να κάψει).

Αφού έχουμε δώσει χρόνο στο μείγμα με τον κιμά και είναι πλέον χλιαρό προσθέτουμε την κανέλα, το αυγό και το γάλα, ανακατεύουμε καλά.

Βουτυρώνουμε μια στρογγυλή φόρμα για κέικ και απλώνουμε το πρώτο φύλλο.

Με ένα πινέλο βουτυρώνουμε το φύλλο από πάνω, προσθέτουμε ένα ακόμη φύλλο και βάζουμε την μίση ποσότητα του κιμά.

Συνεχίζουμε με ακόμη δυο φύλλα (πάντα ενδιάμεσα πασπαλίζουμε με βούτυρο) και απλώνουμε καλά το υπόλοιπο μείγμα με το κιμά.

Στο τέλος βάζουμε τα δυο τελευταία φύλλα και κλείνουμε καλά από πάνω με τα χέρια μας.

Ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 180C για μίση ώρα.

Βγάζουμε την πίτα από τον φούρνο και σε ένα ταψάκι που το έχουμε λαδώσει την γυρνάμε ανάποδα και αφαιρούμε την φόρμα για το κέικ.

Συνεχίζουμε το ψήσιμο για ακόμα 20 λεπτά.