Καθαρίζουμε τα παντζάρια και τα καρότα και τα τρίβουμε στο χοντρό του τρίφτη. Ψιλοκόβουμε το κρεμμύδι και το σκόρδο.

Ζεσταίνουμε μία κουταλιά της σούπας ελαιόλαδο σε χαμηλή φωτιά σε μια κατσαρόλα. Ρίχνουμε μέσα της τα ψιλοκομμένα λαχανικά και τα σοτάρουμε για περίπου 10 λεπτά, ανακατεύοντας απαλά με μία ξύλινη κουτάλα. Προσθέτουμε δύο ποτήρια ζεστό νερό και δυναμώνουμε τη φωτιά. Μόλις το μείγμα πάρει βράση χαμηλώνουμε τη φωτιά, σκεπάζουμε την κατσαρόλα και συνεχίζουμε το μαγείρεμα για περίπου 40 λεπτά.

Αποσύρουμε από τη φωτιά, αφήνουμε τη σούπα να κρυώσει ελαφρώς και την πολτοποιούμε σε δόσεις στο μούλτι.

Ξαναρίχνουμε τη σούπα στην κατσαρόλα για άλλα 5 λεπτά, βράζοντας σε πολύ χαμηλή φωτιά.

Αποσύρουμε το σκεύος, αφήνουμε τη σούπα να κρυώσει για λίγη ώρα σε θερμοκρασία δωματίου και την βάζουμε στο ψυγείο, σκεπασμένη, για τουλάχιστον μία ώρα, ώσπου να κρυώσει καλά.

Στο μεταξύ ανακατεύουμε σε ένα μπολάκι με ένα πιρούνι το γιαούρτι με το χυμό μισού λεμονιού.

Όταν έλθει η ώρα του δείπνου, μοιράζουμε την κρύα πλέον σούπα σε ποτήρια ή μπολάκια, γεμίζοντάς τα μέχρι τη μέση. Γαρνίρουμε με λίγο από το μείγμα γιαουρτιού - λεμονιού, διακοσμούμε με τα φυλλαράκια άνηθου και σερβίρουμε, συνοδεύοντας, αν θέλουμε, με κριτσίνια.