Σε ένα μεγάλο μπολ βάζουμε το χλιαρό γάλα τη μαγιά και ένα κουταλάκι του γλυκού ζάχαρη το ανακατεύουμε και το αφήνουμε 10 λεπτά.

Σε ένα άλλο μπολ ρίχνουμε το αλεύρι με το αλάτι και τα ανακατεύουμε καλά.

Στο μείγμα με τη μαγιά, προσθέτουμε το λιωμένο βούτυρο, τη ζάχαρη, το αυγό και τα ανακατεύουμε καλά. Στη συνέχεια προσθέτουμε το μείγμα με το αλεύρι σιγά σιγά μέχρι να ανακατευτεί καλά.

Ξεκινάμε να ζυμώνουμε τη ζύμη σιγά σιγά ρίχνοντας λίγο αλεύρι στο πάγκο. Αν κολλάει προσθέτουμε λίγο αλεύρι. Η ζύμη πρέπει να είναι πολύ δροσερή και μαλακή.

Λαδώνουνε ένα μπολ και βάζουμε μέσα τη ζύμη αφήνοντας τη περίπου 60 λεπτά.

Για τη γέμιση, σε ένα μπολ βάζουμε τη μαύρη ζάχαρη τη κανέλα τη βανίλια και ανακατεύουμε καλά.

Ανοίγουμε με τον πλαστή τη ζύμη στο πάγκο μας σε ένα τετράγωνο 40-45 εκ. Με ένα πινέλο απλώνουμε το βούτυρο σε όλη τη ζύμη. Προσθέτουμε τη γέμιση και την απλώνουμε πολύ καλά με τα χέρια μας.

Με ένα πινέλο βουτυρώνουμε ένα ταψί. Τυλίγουμε τη ζύμη σε ρόλο. Τη χαράζουμε σε 12 ίσια κομμάτια και τα τοποθετούμε μέσα στο ταψί. Τα σκεπάζουμε και τα αφήνουμε για περίπου 40 λεπτά σε ένα ζεστό μέρος. Βάζουμε το ταψί στο φούρνο στους 180 βαθμούς για 20 λεπτά.

Βγάζουμε το ταψί και σε ένα μπολ βάζουμε το τυρί κρέμα, το βούτυρο τη βανίλια, το γάλα και ανακατεύουμε καλά. Τέλος, βάζουμε τη ζάχαρη άχνη και ανακατεύουμε καλά με ένα σύρμα.