Βάζουμε μία βαθιά κατσαρόλα σε μέτρια φωτιά, ρίχνουμε μέσα τις πατάτες και τις καλύπτουμε με νερό. Βράζουμε τις πατάτες μέχρι να μαλακώσουν. Μόλις μαλακώσουν, τις σουρώνουμε και τις αφήνουμε στην άκρη να κρυώσουν. Έπειτα τις διαλύουμε με ένα πιρούνι και τις αφήνουμε στην άκρη.

Στη συνέχεια βάζουμε την ίδια κατσαρόλα σε μέτρια φωτιά και τη γεμίζουμε με νερό μέχρι τη μέση. Αφήνουμε το νερό να βράσει. Μόλις αρχίσει να κοχλάζει το νερό, ρίχνουμε μέσα τον σολομό και τον βράζουμε για 15 λεπτά περίπου.

Με μία τρυπητή κουτάλα αφαιρούμε το σολομό από το νερό, το μεταφέρουμε σε ένα πιάτο και το αφήνουμε να κρυώσει. Έπειτα τον ξεψαχνίζουμε και τον αφήνουμε στην άκρη.

Παίρνουμε ένα βαθύ μπολ, τοποθετούμε μέσα τις πατάτες, το σολομό, το μαϊντανό, τον άνηθο, τη μαγιονέζα, τη φρυγανιά, αλατοπιπερώνουμε και τέλος ρίχνουμε το αυγό. Ανακατεύουμε πολύ καλά με ένα κουτάλι μέχρι να ομογενοποιηθεί το μείγμα και φτιάχνουμε μπαλάκια των 35-40 γρ. περίπου και τα μεταφέρουμε σε ένα ταψί φούρνου στο οποίο έχουμε στρώσει λαδόκολλα.

Ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 180 βαθμούς στον αέρα για 25-30 λεπτά.

Εκτέλεση για τη sauce tartar: Στο πολυκοπτικό με τα μαχαίρια χτυπάμε το κρεμμύδι, το αγγουράκι τουρσί και την κάπαρη μέχρι να δημιουργηθεί μία πάστα. Μεταφέρουμε την πάστα σε ένα μικρό σουρωτήρι και πιέζουμε καλά με ένα κουτάλι μέχρι να φύγει όλη η υγρασία.

Βάζουμε την πάστα σε ένα μπολ, ρίχνουμε τη μαγιονέζα, τον άνηθο, το χυμό από lime, αλατοπιπερώνουμε και ανακατεύουμε καλά μέχρι να ομογενοποιηθούν όλα τα υλικά.

Αφαιρούμε τα fishcakes από το φούρνο και σερβίρουμε ζεστά μαζί με τη sauce tartar.