Σε μια κατσαρόλα προσθέτουμε 1 κ.σ. ελαιόλαδο και αφήνουμε να κάψει καλά.

Προσθέτουμε τον κιμά και με μια ξύλινη κουτάλα ανακατεύουμε καλά μέχρι να πάρει χρώμα.

Προσθέτουμε το κρεμμύδι και το σκόρδο ψιλοκομμένο, το καρότο και σοτάρουμε για 4-5 λεπτά.

Σβήνουμε με το κρασί και περιμένουμε να εξατμιστεί το αλκοόλ.

Προσθέτουμε το πελτέ και τον τρίβουμε στο πάτο της κατσαρόλας

Προσθέτουμε την ντομάτα, τον κύβο, το νερό και όλα τα μπαχαρικά και αφήνουμε να βράσει για 40 λεπτά περίπου.

Κόβουμε τις μελιτζάνες στα 2 κατά μήκος, αφαιρούμε το κοτσάνι και τις χαράζουμε σε αρκετά σημεία σταυρωτά με ένα κοφτερό μαχαίρι χωρίς να σκίσουμε τη φλούδα.

Τις τοποθετούμε στο ταψί, τις αλείφουμε με λάδι, αλάτι και πιπέρι και τις βάζουμε σε προθερμασμένο φούρνο για περίπου 30 -40 λεπτά

Τοποθετούμε το βούτυρο σε μια κατσαρόλα σε μέτρια φωτιά ανακατεύουμε με ένα σύρμα χειρός μέχρι να λιώσει το βούτυρο.

Προσθέτουμε το αλεύρι και το αφήνουμε να καβουρδιστει για 2 λεπτά, συγχρόνως ανακατεύουμε.

Προσθέτουμε το γάλα σε δόσεις ανακατεύοντας συνεχώς. Περιμένουμε να απορροφηθεί η πρώτη δόση μέχρι να προσθέσουμε την επόμενη.

Μόλις πήξει η μπεσαμέλ, την αφαιρούμε από το μάτι.

Προσθέτουμε τα αυγά και ανακατεύουμε καλά.

Προσθέτουμε και το τυρί και τα μπαχαρικά και είναι έτοιμη.

Παίρνουμε το ταψί με τις μελιτζάνες, πιέζουμε το εσωτερικό τους με ένα πιρούνι, τοποθετούμε τον κιμά, την μπεσαμέλ, πασπαλίζουμε με λίγο κεφαλοτύρι και το βάζουμε στον φούρνο για 15-20 λεπτά, μέχρι να ροδίσει.