Τοποθετούμε την κατσαρόλα με νερό σε δυνατή φωτιά να βράσει. Βάζουμε μέσα τη συκωταριά, τις φέτες από το λεμόνι, τα φύλλα δάφνης, το αλάτι, τους κόκκους από το πιπέρι και αφήνουμε να βράσει για 10-15 λεπτά. Αφαιρούμε τον αφρό ανά διαστήματα. Σουρώνουμε και πετάμε το νερό.

Τοποθετούμε την ίδια κατσαρόλα ξανά σε δυνατή φωτιά και βάζουμε το ελαιόλαδο. Κόβουμε το κρεμμύδι και το σκόρδο σε μικρά κομμάτια και τα βάζουμε στη κατσαρόλα. Κόβουμε τη συκωταριά σε μικρά κομμάτια, τα βάζουμε στην κατσαρόλα και σοτάρουμε για 8-10 λεπτά. Σβήνουμε με το κρασί, προσθέτουμε τον κύβο, το νερό, κλείνουμε το καπάκι και βράζουμε σε μέτρια φωτιά για 30-40 λεπτά.

Στη συνέχεια, κόβουμε τα φρέσκα κρεμμύδια σε ροδέλες, το μαρούλι και τον άνηθο σε μεγάλα κομμάτια και τα βάζουμε στην κατσαρόλα. Προσθέτουμε το ρύζι, κλείνουμε το καπάκι και βράζουμε σε μέτρια φωτιά για 15-20 λεπτά.

Για το αυγολέμονο: Σε ένα μπολ βάζουμε το ξύσμα και τον χυμό από τα λεμόνια, τα αυγά και ανακατεύουμε με ένα σύρμα χειρός. Βάζουμε αργά 5-6 κουτάλες της σούπας από τον ζωμό της μαγειρίτσας και ανακατεύουμε συνεχόμενα.

Μεταφέρουμε το μείγμα ξανά στην κατσαρόλα, ανακατεύουμε για λίγα δευτερόλεπτα ανακινώντας την κατσαρόλα και αφαιρούμε από τη φωτιά. Προσθέτουμε τον άνηθο στην κατσαρόλα και ανακατεύουμε. Σερβίρουμε με ελαιόλαδο, άνηθο και πιπέρι.