Καθαρίζουμε τις πατάτες και τις κόβουμε σε φέτες. Τις πλένουμε και τις τηγανίζουμε σε καυτό λάδι.

Πλένουμε καλά τις μελιτζάνες και τις κόβουμε σε φέτες. Τις βάζουμε σ'ένα τάπερ με αλατισμένο νερό. Τις αλλάζουμε το νερό γύρω στις 5 φορές. Τις τηγανίζουμε ελαφρώς. Μόλις τις βγάλουμε απ'το τηγάνι τις βάζουμε στο σουρωτήρι.

ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΙΜΑ. Τσιγαρίζουμε ελαφρώς το κρεμμύδι. Σοτάρουμε τον κιμά και μαγειρεύουμε και μαγειρεύουμε σε δυνατή φωτιά μέχρι να ψηθεί καλά. Ρίχνουμε όλα τα υπόλοιπα υλικά, ανακατεύουμε και μαγειρεύουμε περίπου 20 λεπτά. Κατεβάζουμε από τη φωτιά και ρίχνουμε τη τριμμένη φρυγανιά και ανακατεύουμε πολύ καλά, μέχρι ο κιμάς να μην έχει υγρά. Τέλος ρίχνουμε το τυρί και ανακατεύουμε πολύ απαλά.

ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΠΕΣΑΜΈΛ. Χτυπάμε το αβγό και το αφήνουμε στην άκρη. Ζεσταίνουμε το γάλα (να είναι ζεστό προς καυτό). Σε μία κατσαρόλα λιώνουμε το βούτυρο. Μόλις λιώσει ρίχνουμε σιγά σιγά το γάλα και ανακατεύουμε με σύρμα χειρός. Ρίχνουμε το αλεύρι και ανακατεύουμε πολύ γρήγορα. Μόλις γίνει η κρέμα κατεβάζουμε από τη φωτιά, ρίχνουμε το αβγό και ανακατεύουμε πάρα πολύ γρήγορα.

Παίρνουμε το ταψί της κουζίνας και το λαδώνουμε. Ρίχνουμε ελάχιστη φρυγανιά. Ξεκινάμε τη συναρμολόγηση.. Πρώτα τις πατάτες, μετά τις μελιτζάνες,τον κιμά. Πάνω απ'τον κιμά ξανά μελιτζάνες, μετά τις πατάτες και τέλος την μπεσαμέλ. Πασπαλίζουμε με ελάχιστη τριμμένη φρυγανιά και ψήνουμε σε προθερμασμενο φούρνο στους 220 βαθμούς για περίπου 40 λεπτά.

Καλή επιτυχία!