Καθαρίζουμε και κόβουμε σε κομμάτια τις πατάτες. Τις βάζουμε σε νερό να βράσουν μέχρι να μαλακώσουν. Τις μεταφέρουμε σε ένα μπολ και τις πατάμε με πιρούνι. Προσθέτουμε 1/3 από το ματσάκι το μαϊντανό, αλάτι, πιπέρι, την παρμεζάνα και το αυγό. Ανακατεύουμε το μίγμα μας καλά και το αφήνουμε στην άκρη. Σε τηγάνι σοτάρουμε με λίγο λάδι, το κρεμμύδι σε μικρά κομμάτια μέχρι να πάρει χρώμα. Σε άλλο μπολ βάζουμε τον κιμά, 1/3 από το ματσάκι το μαϊντανό, αλάτι, πιπέρι και προσθέτουμε το κρεμμύδι.

Ανακατεύουμε καλά. Σε ταψί με λαδόκολλα απλώνουμε πάνω την φρυγανιά και επάνω απλώνουμε το μίγμα της πατάτας. Δίνουμε σχήμα παραλληλόγραμμο. Πάνω και στην μέση σχεδόν βάζουμε τον κιμά μακρόστενα. Παίρνουμε το ένα πλευρό της λαδόκολλας από την πάνω πλευρά και το φέρνουμε προς την άλλη με κυκλική φορά, για να φτάσει έως το κέντρο της ζύμης μας. Τώρα κάνουμε το ίδιο από την άλλη πλευρά προς την απάνω. Στις άκρες το διπλώνουμε προσεκτικά.

Όταν δούμε ότι έγινε σχεδόν ένα ομοιόμορφο σε σχήμα φραντζολάκι, ανοίγουμε την λαδόκολλα και κλείνουμε προσεκτικά τα σημεία που δεν είναι καλά κλεισμένα με τα υλικά της πατάτας μας. Το γυρίζουμε προσεκτικά κυκλικά για να έρθει η κάτω πλευρά απάνω και με μαχαίρι κόβουμε κομμάτια. Στο ταψί μας βάζουμε μια νέα λαδόκολλα και το κάθε κομμάτι το τοποθετούμε στο πλάι το ένα δίπλα στο άλλο. Τοποθετούμε το ταψί μας σε προθερμασμένο φούρνο στους 180 βαθμούς για 40 λεπτά.