Σε μια μεγάλη κατσαρόλα βάζουμε νερό να βράσει μαζί με τον κύβο κότας και το αλάτι.

Φοράμε γάντια και κόβουμε το κοτόπουλο σε μικρά κομμάτια, καθαρίζουμε τα καρότα και να κόβουμε σε ροδέλες, κόβουμε μισό πράσο και τα κρεμμύδια σε μικρά κομματάκια, αφού βράσει το νερό τα βάζουμε μέσα.

Βράζουμε για 40' σε δυνατή φωτιά.

Παίρνουμε το ξύσμα από τα 2 λεμόνια και το βάζουμε σε ένα μπολ, στύβουμε τα δυο λεμόνια στο μπολ. Σε ένα άλλο μπολ χωρίζουμε τους κρόκους από τα ασπράδια των αβγων. Βάζουμε μόνο τους κρόκους στο μπολ με το λεμόνι και κρατάμε τα ασπράδια για ομελέτα.

Βάζουμε λίγο από το νερό της σούπας στο μπολ ώστε να εμποδισει το αυγολέμονο μας να κοψει.

Ανακατεύουμε το αβγολεμονο και το βάζουμε στη σούπα αφού την έχουμε απομακρύνει από την φωτιά.

Στο σερβρίρισμα βάζουμε λίγο μαύρο πιπέρι για περισσότερη γεύση.