Σε βαθύ τηγάνι προσθέτουμε το μισό λάδι και σοτάρουμε τα κρεμμύδια σε μέτρια φωτιά, μέχρι να μαραθούν.Κατόπιν, προσθέτουμε αλατοπίπερο,το ξύδι μπαλσάμικο,το θυμάρι και τέλος το πλιγούρι, ανακατεύοντας σταδιακά. Η όλη διαδικασία θα πάρει περίπου 15'. Σβήνουμε και αφήνουμε στην άκρη να κρυώσει λίγο.

Χτυπάμε τα αυγά και τα προσθέτουμε στο μείγμα, καθώς και την φέτα θρυμματισμένη, ανακατεύοντας να ενσωματωθούν.

Λαδώνουμε ένα ταψί και προσθέτουμε 3 φύλλα σταυρωτά λαδωμένα ενδιάμεσα. Προσθέτουμε την μισή γέμιση και απλώνουμε ένα φύλλο όχι λαδωμένο και από πάνω την υπόλοιπη γέμιση. Με αυτόν τον τρόπο θα απορροφήσει τυχόν υγρά. Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία με τα υπόλοιπα 3 φύλλα. Χαράσσουμε την πίτα και την λαδώνουμε.

Ψήνουμε για μια ώρα στους 180° μέχρι να ροδίσει, περίπου 1 ώρα. Αφήνουμε για 10' να ξεκουραστεί και σερβίρουμε.