Βράζουμε μπόλικο νερό σε μια μεγάλη κατσαρόλα.

Μόλις βράσει προσθέτουμε το αλάτι.

Τοποθετούμε τις πατάτες στο στραγγιστήρι, τις σκεπάζουμε με αλουμινόχαρτο και τις μαγειρεύουμε στον ατμό, μέσα στην κατσαρόλα με κλειστό το καπάκι.

Θέλουν περίπου 45 λεπτά.

Βουτυρώνουμε με πολύ βούτυρο ένα πυρίμαχο σκεύος περίπου 40 εκ. χ 27 εκ.

Προθερμαίνουμε τον φούρνο στους 200 βαθμούς.

Τοποθετούμε το αλεύρι σε ένα μεγάλο ξύλο έτσι ώστε να σχηματίσουμε βουναλάκι με λακκούβα στη μέση. Στραγγίζουμε και περνάμε τις πατάτες από τον τρίφτη για να τις λειώσουμε.

Σχηματίζουμε και με αυτές ένα μικρό βουνό με λακκούβα στην μέση και εκεί μέσα τοποθετούμε το αυγό.

Αλατίζουμε. Σιγά-σιγά παίρνουμε λίγο από το αλεύρι και το δουλεύουμε μέσα στις πατάτες μέχρι να ενσωματωθεί σχεδόν όλο το αλεύρι. Ζυμώνουμε. Κόβουμε τη ζύμη σε 5-5 κομμάτια και τα γυρίζουμε για να γίνουν σαν λωρίδες με πάχος 3 εκ. Κόβουμε την κάθε λωρίδα σε μικρά κομματάκια των 2 εκ.

Χρησιμοποιώντας την ανάποδη μεριά του τρίφτη και ξεκινώντας από την πάνω μεριά, γυρίζουμε ένα-ένα τα κομματάκια προς τα κάτω βαστώντας τα μεταξύ του δείκτη και του μεσαίου δακτύλου μας για να σχηματίζουμε ένα "C". Επαναλαμβάνουμε μέχρι να τελειώσουμε με όλα τα κομμάτια.

Βράζουμε νερό σε μια μεγάλη κατσαρόλα (γεμάτη), αλατίζουμε το νερό μόλις βράσει και βράζουμε τα νιόκι.

Μόλις ανεβαίνουν στην επιφάνεια του νερού τα αφήνουμε για 30 δευτερόλεπτα ακόμα.

Τα βγάζουμε λίγα-λίγα με τρυπητή κουτάλα και τα τοποθετούμε στο βουτυρωμένο σκεύος.

Τοποθετούμε το βούτυρο από πάνω και στη συνέχεια το τυρί, κομμένο σε φέτες.

Ψήνουμε για 5 λεπτά, μέχρι να λειώσει το τυρί.

Σερβίρουμε αμέσως.