Γεμίζουμε μια σαλατιέρα με νερό και στύβουμε μέσα εκεί 1 ζουμερό λεμόνι, κρατάμε τις λεμονόκουπες στην άκρη.Κόβουμε το κοτσάνι της αγκινάρας περίπου στα 5 εκ. από το «λουλούδι της.Καθαρίζουμε την αγκινάρα αφαιρώντας τα φύλλα της μέχρι να φτάσουμε στην καρδιά της.Με ένα κουταλάκι αφαιρούμε τις τριχούλες που έχει στο κέντρο την περνάμε καλά με την λεμονόκουπα να μην μαυρίσει και το βάζουμε στο σκεύος που ετοιμάσαμε με νερό και λεμόνι.Το κοτσάνι της αγκινάρας (τα 5 εκ. που κρατήσαμε) τα καθαρίζουμε να μείνει ένα λεπτό κοτσανάκι σαν μολύβι, το περνάμε κι αυτό με την λεμονόκουπα και το βάζουμε μαζί με τις αγκινάρες.

Καθαρίζουμε και κόβουμε τις πατάτες στα 4 ή στα έξι, ανάλογα το μέγεθός τους και κρατάμε στην άκρη. Καθαρίσουμε και κόβουμε τα καρότα κι αυτά σαν το κοτσάνι από τις αγκινάρες σαν μολυβάκια, τα κρατάμε κι αυτά στην άκρη.Κόβουμε το φινόκιο στα 4 και πλένουμε καλά.

Καθαρίζουμε και κόβουμε τα φρέσκα κρεμμυδάκια σε μεγάλα κομμάτια (και τα φύλλα, τα πιο δροσερά τουλάχιστον) και τα κρατάμε στην άκρη.

Πλένουμε και ψιλοκόβουμε τον άνιθο.

Κόβουμε το ξερό κρεμμύδι σε κυβάκια, και σωτάρουμε σε μια μεγάλη κατσαρόλα μέχρι να χρυσίσει.

Προσθέτουμε τις πατάτες και τα καρότα και σωτάρουμε για λίγη ώρα, προσθέτουμε λίγο νεράκι και μαγειρεύουμε για λίγη ώρα, ίσα να μαλακώσουν τα καρότα και οι πατάτες ελαφρώς.

Στο σημείο αυτό προσθέτουμε τις αγκινάρες τα κοτσανάκια τους και το φινόκιο και ζεστό νερό ίσα που να τα σκεπάζει.

Στα 5 λεπτά προσθέτουμε τα φρέσκα κρεμμυδάκια και τον άνιθο.

Μαγειρεύουμε ακόμη 5 λεπτά, στο σημείο αυτό το φαγάκι μας θα πρέπει να είναι έτοιμο.Διορθώνουμε στο αλάτι αν χρειάζεται.Στο multi αλέθουμε λίγη πατάτα, λίγο καρότο και 2 κοτσανάκια αγκινάρας, προσθέτουμε λεμόνι και ωμό λαδάκι και με αυτό τον τρόπο πυκνώνουμε την σαλτσούλα του.

Το φαγάκι μας είναι έτοιμο.