Βράζω το κοτόπουλο μαζί με το κρεμμύδι (αν θέλω βάζω και έναν φρέσκο ζωμό κοτόπουλου). Οταν είναι έτοιμο αφήνω να κρυώσει και το μαδάω σε πολύ μικρά κομμάτια. Προσοχή δεν πετάω το νερό από το βράσιμο.

Σε ρηχή κατσαρόλα ή τηγάνι βάζω το ελαιόλαδο να κάψει και σοτάρω τα λαχανικά. Οταν μαλακώσουν κάπως προσθέτω και το κοτόπουλο. Αφού πάρει χρώμα βάζω τη  μισή ντομάτα, αλάτι και πιπέρι και αφήνω να μαγειρευτεί για 5 λεπτά.

Όταν μειωθούν τα υγρά προσθέτω τον μαϊντανό, αποσύρω από την φωτιά το σκεύος και σπάω το αυγό ανακατεύοντας ζωηρά για να μην ψηθεί. Προσθέτω και το τυρί.

Γεμίζω τα κανελόνια και τα βάζω σε λαδωμένο πυρέξ.

Σε ένα μπολ βάζω την άλλη μισή ντομάτα με το σκόρδο και τα φύλλα βασιλικού και ανακατεύω. Περιχύνω την σάλτσα στα κανελόνια. Με προσοχή από την άκρη του πυρέξ βάζω ζωμό από το βράσιμο του κοτόπουλου τόσο όσο να καλυφτούν σχεδόν τα κανελόνια και πασπαλίζω την επιφάνεια με λίγο έξτρα τριμμένο τυρί.

Ψήνω σε προθερμασμένο φούρνο στους 180 βαθμούς για 45'-1 ώρα (ανάλογα με τον φούρνο μας).