Σε μπόλικο αλατισμένο νερό, βράζουμε τα ζυμαρικά σύμφωνα με τον χρόνο που αναγράφεται στη συσκευασία. Μόλις βράσουν, τα αφήνουμε στο στραγγιστήρι και αφήνουμε την κατσαρόλα στην άκρη για να τη χρησιμοποιήσουμε στη μπεσαμέλ.Παράλληλα, ετοιμάζουμε τον κιμά. Εγώ το βράζω στη χύτρα οπότε μειώνω κατά πολύ τον χρόνο μαγειρέματος.Βάζω ελαιόλαδο στην κατσαρόλα, προσθέτω τα κρεμμύδια, το σκόρδο και το καρότο τριμμένα να σοταριστούν ελάχιστα. Ρίχνω τον κιμά και ανακατεύω μέχρι να αλλάξει χρώμα. Αλατίζω, ρίχνω την γλυκιά πάπρικα και τρίβω μαύρο πιπέρι.Προσθέτω τον ντοματοπελτέ να "καεί" στον πάτο της κατσαρόλας και συμπληρώνω νερό ίσα να σκεπάζει τον κιμά. Κλείνω την χύτρα και βράζω για 5 λεπτά απ τη στιγμή που ανέβει η βαλβίδα. Μόλις πέσει η βαλβίδα, ανοίγω το καπάκι, επανατοποθετώ στη φωτιά και προσθέτω τα σουρωμένα ζυμαρικά. Ανακατεύω συνεχώς για να μην κολλήσουν στον πάτο τα ζυμαρικά, όσο ρουφάνε το ζουμάκι του κιμά.

Στην κατσαρόλα που βράσαμε τα ζυμαρικά,χωρίς καν να την πλύνουμε (εφόσον δεν έχει στον πάτο της κολλημένα μακαρόνια βέβαια), προσθέτουμε το ελαιόλαδο και τη βάζουμε στη φωτιά. Προσθέτουμε το αλεύρι και ανακατεύουμε συνεχώς με τον αυγοδάρτη.Προσθέτουμε το γάλα λίγο λίγο ανακατεύοντας συνεχώς ώστε να μην κάνει σβόλους και να απορροφάται πριν προσθέσετε την επόμενη ποσότητα γάλακτος. Μόλις ρίξετε όλο το γάλα, αλατίστε, τρίψτε πιπέρι (ή μοσχοκάρυδο) και συνεχίστε να ανακατεύετε μέχρι να δέσει η μπεσαμέλ. Μόλις αυτό συμβεί, αποσύρετε απ τη φωτιά και προσθέστε την τριμμένη παρμεζάνα. Ανακατέψτε να ενσωματωθεί στη σάλτσα.Προσθέστε τη μπεσαμέλ στην κατσαρόλα που ήδη φιλοξενεί τα παντρεμένα με τον κιμά ζυμαρικά και ανακατέψτε να αγκαλιαστούν πλήρως και τα τρία μέρη του παστίτσιου.

Χωρίς να προσθέσετε επιπλέον λιπαρή ουσία, τοποθετήστε το μείγμα σε πυράντοχο σκεύος και πασπαλίστε λίγη επιπλέον παρμεζάνα από πάνω.Ψήστε στους 200 βαθμούς στον αέρα για περίπου 20 λεπτά, έως να ροδίσει η επιφάνεια καθώς όλα τα υλικά σας είναι ήδη μαγειρεμένα και δεμένα μεταξύ τους!