Κόβουμε τα καρότα σε κομμάτια 5-6 εκατ και τα σκάβουμε προσεκτικά με τον οικονόμο (όπως τα κολοκυθάκια)

Με το ζουμί του κρέατος το βιταμ και το αλεύρι ετοιμάζουμε μια μπεσαμελ στην οποία προσθέτουμε και την κρεμά γάλακτος την τριμμένη παρμεζάνα αλάτι και το πιπέρι (η μπεσαμελ πρέπει να είναι αρκετά σφιχτή) για την παρασκευή της μπεσαμελ βλέπετε στο βήμα 5

Βράζουμε τα καρότα για λίγο μέχρι να μαλακώσουν, αλλά συγχρόνως να κρατούν και λίγο. τα γεμίζουμε με τη μπεσαμελ γαρνίροντας την άκρη με μια τούφα μπεσαμελ, όπως και άλλα σημεία του πιάτου του φούρνου (μεταχειριζομαστε σακούλα με κορνε για το γαρνίρισμα)

Βάζουμε το πιάτο σε ζεστό φούρνο να γκρατιναριστει η μπεσαμελ γαι περίπου 15 λεπτά και τα σερβίρουμε ζεστά

Σε μια κατσαρόλα μικρή βάζουμε το βούτυρο και τον ζουμί κρέατος,μόλις λιώσει το βούτυρο ρίχνουμε το αλεύρι,ανακατευοντας με σύρμα μέχρι να ζεσταθεί και χωρείς να το αφήσουμε να πάρει χρώμα στην συνέχεια ρίχνουμε την κρέμα γάλακτος, την παρμεζάνα και το ανάλογο αλατοπίπερο ανακατεύουμε με το σύρμα μέχρι να πάρει μερικές βράσει όταν πια δέση όσο θέλουμε την αποσύρουμε από την φωτιά