Στον κάδο του μίξερ ρίχνουμε το ζεστό νερό και μέσα διαλύουμε την μαγιά μαζί με 1 κσ ζάχαρη.

Προσθέτουμε 3 κσ αλεύρι και ανακατεύουμε να γίνει ένα ελαφρύ κουρκούτι και το αφήνουμε για 5 λεπτά.

Βάζουμε την υπόλοιπη ζάχαρη, το αυγό και την βανίλια και τα ενσωματώνουμε στο μείγμα.

Προσθέτουμε το αλάτι στο αλεύρι.

Σταδιακά και εναλλάξ προσθέτουμε στο μείγμα το αλεύρι και το λιωμένο βούτυρο.

Ξεκινάμε το ζύμωμα με τον γάντζο του μίξερ για 7 λεπτά.

Σκεπάζουμε τον καδο και τον αφήνουμε σε ζεστό σημείο μέχρι να διπλασιάσει τον όγκο του.

Μεταφέρουμε την ζύμη σε αλευρωμένη επιφάνεια και την ανοίγουμε με τον πλάστη σε 5-6 χιλιοστά πάχος.

Κόβουμε κύκλους με κουπάτ 8-10 εκ. και τους εσωτερικούς κύκλους με κουπάτ 3-5 εκ.

Τους μεταφέρουμε σε ατομικές λαδόκολλες για κάθε λουκουμά στο ταψί.

Τους σκεπάζουμε και τους αφήνουμε να φουσκώσουν για 15-20 λεπτά.

Σε κατσαρόλα βάζουμε μπόλικο σπορέλαιο και μόλις κάψει ρίχνουμε τους λουκουμάδες κατευθείαν από τη λαδόκολλα χωρίς να τους πιάσουμε γιατί θα ξεφουσκώσουν.

Μόλις τηγανίσουμε τους βάζουμε σε απορροφητικό χαρτί και ενώ είναι ακόμα ζεστοί τους ρίχνουμε σε μπολ με κρυσταλλική ζάχαρη.